Setze a als erstes Element der Folge und r als „ratio“/Faktor zwischen den Folgen, ergibt das Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten:

ar + ar^2 = 6

ar^2 + ar^3 = –12

Die eleganteste Lösung ist nun in der zweiten Gleichung r auszuklammern, was r * [erste Gleichung] ergibt, also:

r * 6 = –12

Der Faktor ist also –2, und mit der ersten Gleichung erhalten wir:

–2a +4a = 6

a = 3

Die im Kommentar hinzugefügte Aufgabe lässt sich übrigens ohne „Mitternachtsformel“ nicht lösen, und die im Kopf auch nur wirklich, wenn man die Gleichung normalisiert (also ax^2 + bx + c = 0 durch a teilt), wieder Dank an Matze für diesen Hinweis.

The sum of a number of consecutive terms of an Arithmetic Progression is –19.5, the first term is 16.5 and  the common difference is –3. Find the number of  terms of this progression

NB: The „number“ is of course the number of elements which sum to –19.5, starting with 16.5.